在复变函数中，复指数函数是初等解析函数的一种，它是实数变量指数函数在复数域上的一种推广。
目录
1 复指数
2 复指数函数
3 性质
4 几何意义
5 上下节
6 参考资料
复指数[]
设
z
=
x
+
i
y
∈
C
{\displaystyle z = x + \text{i} y \in \C}
，由欧拉公式
e
i
θ
=
cos
θ
+
i
sin
θ
{\displaystyle \text{e}^{\text{i}\theta} = \cos \theta + \text{i} \sin \theta}
，我们称如下形式定义
解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://mathoid-facade/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \text{e}^z = \text{e}^{x + \text{i} y} := \text{e}^x (\cos y + \text{i} \sin y)}
是复数
z
{\displaystyle z}
的指数。
实部的指数解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://mathoid-facade/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \text{e}^x}
就是复数指数的模长，虚部的指数就是复数指数的辐角，因此，给定一个复数
z
{\displaystyle z}
，当且仅当有一个复数与
e
z
{\displaystyle \text{e}^z}
对应，我们把这个唯一的数就叫做
z
{\displaystyle z}
的指数。
复指数函数[]
复变函数
f
(
z
)
=
e
z
{\displaystyle f(z) = \text{e}^z}
是
C
{\displaystyle \mathbb{C}}
上的解析函数（容易验证它的解析性），我们把这个函数叫做复指数函数。
函数解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://mathoid-facade/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle f(z) = \text{e}^z}
是
C
{\displaystyle \mathbb{C}}
上的解析函数。关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠
f
(
z
)
=
e
z
=
u
(
x
,
y
)
+
i
v
(
x
,
y
)
=
e
x
(
cos
y
+
i
sin
y
)
.
{\displaystyle f(z) = \text{e}^z = u(x, y) + \text{i} v(x, y) = \text{e}^x (\cos y + \text{i} \sin y).}
所以
u
(
x
,
y
)
=
e
x
cos
y
,
v
(
x
,
y
)
=
e
x
sin
y
.
u(x, y) = \text{e}^x \cos y, v(x, y) = \text{e}^x \sin y.
进而
∂
u
∂
x
=
e
x
cos
y
,
∂
u
∂
y
=
−
e
x
sin
y
;
∂
v
∂
x
=
e
x
sin
y
,
∂
v
∂
y
=
e
x
cos
y
{\displaystyle \dfrac{\partial u}{\partial x} = \text{e}^x \cos y, \dfrac{\partial u}{\partial y} = - \text{e}^x \sin y; \quad \dfrac{\partial v}{\partial x} = \text{e}^x \sin y, \dfrac{\partial v}{\partial y} = \text{e}^x \cos y}
在
C
{\displaystyle \mathbb{C}}
上可微且满足 C.-R. 方程
∂
u
∂
x
=
∂
v
∂
y
,
∂
u
∂
y
=
−
∂
v
∂
x
.
{\displaystyle \dfrac{\partial u}{\partial x} = \dfrac{\partial v}{\partial y}, \quad \dfrac{\partial u}{\partial y} = -\dfrac{\partial v}{\partial x}.}
因此解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://mathoid-facade/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle f(z) = \text{e}^z}
是
C
{\displaystyle \mathbb{C}}
上的解析函数。
性质[]
复指数函数有许多和实指数函数类似的性质，它的特性有
∀
z
∈
C
,
(
e
z
)
′
=
e
z
;
{\displaystyle \forall z \in \C, (\text{e}^z)' = \text{e}^z;}
∀
z
1
,
z
2
∈
C
,
e
z
1
z
2
=
e
z
1
e
z
2
;
{\displaystyle \forall z_1,z_2 \in \C, \text{e}^{z_1z_2} = \text{e}^{z_1} \text{e}^{z_2};}
|
e
z
|
=
e
Re
z
>
0
,
arg
e
z
=
Im
z
;
{\displaystyle |\text{e}^z| = \text{e}^{\operatorname{Re} z} > 0, \arg \text{e}^z = \operatorname{Im} z;}
解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://mathoid-facade/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle f(z) = \text{e}^z}
是周期函数，它以
2
π
i
{\displaystyle 2 \pi \text{i}}
为基本周期，即
e
z
+
2
π
i
=
e
z
;
{\displaystyle \text{e}^{z+2\pi\text{i}} = \text{e}^z;}
∀
k
∈
Z
,
e
2
k
π
i
=
1
,
e
(
2
k
+
1
)
π
i
=
−
1
;
{\displaystyle \forall k \in \Z, \text{e}^{2k\pi\text{i}} = 1, \text{e}^{(2k+1)\pi\text{i}} = -1;}
∀
z
∈
C
,
∀
n
∈
N
,
(
e
z
)
n
=
e
n
z
;
{\displaystyle \forall z \in \C, \forall n \in \N, (\text{e}^z)^n = \text{e}^{nz};}
解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://mathoid-facade/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \forall z \in \C, \text{e}^z \ne 0}
，但其值可以取到负数；
e
z
1
=
e
z
2
⟺
z
1
−
z
2
=
2
k
π
i
,
k
∈
Z
.
{\displaystyle \text{e}^{z_1} = \text{e}^{z_2} \iff z_1 - z_2 = 2 k \pi \text{i}, k \in \Z.}
几何意义[]
复指数函数有着它独特的几何意义，由于实部的指数
e
x
{\displaystyle \text{e}^x}
就是复数指数的模长，虚部的指数就是复数指数的辐角，可知它其实是将平面直角坐标形式的点转化为了极坐标形式的点，因此我们假设
w
{\displaystyle w}
平面（值域所在的平面）就选定为极坐标，和一般的极坐标不同的是，它的极轴上的刻度都是以指数（
e
{\displaystyle \text{e}}
的幂次）度量的，因此不会出现极轴反向取值的情形，即不会出现类似解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://mathoid-facade/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle (-1,\pi)}
的表达形式的点。
这样，我们就可以大胆地将复指数作用在整个
z
{\displaystyle z}
平面（这是一个直角坐标平面）上了，为此我们先考虑两种特殊的自变量曲线情形：①平行于虚轴的直线；②平行于实轴的直线。以下我们总设自变量
z
1
=
t
0
+
t
1
i
{\displaystyle z_1 = t_0 + t_1 \text{i}}
，复指数函数是
z
2
=
e
z
1
{\displaystyle z_2 = \text{e}^{z_1}}
。在下方的图中，我们将
z
{\displaystyle z}
平面与解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://mathoid-facade/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle w}
平面重合，为了区分我们用虚线表示自变量曲线，实线表示因变量曲线。
①我们先看一个特殊的例子，
t
1
∈
[
−
π
,
π
)
,
t
0
=
0
{\displaystyle t_1 \in [-\pi, \pi), t_0 = 0}
，这实际上就是将一段线段映成了单位圆，如图。
由于
t
1
{\displaystyle t_1}
的周期性，当它取遍实数时，对应的因变量曲线上的点的辐角发生周期性变化，所以虚部变化在任何一个圆周期内，它的因变量曲线总是一个单位圆。
当
t
0
{\displaystyle t_0}
取到其它数值时，与上述不同的仅仅是轨迹圆的半径
r
=
e
t
0
{\displaystyle r = \text{e}^{t_0}}
。下图就是展示了解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://mathoid-facade/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle t_0 = 1}
而
t
1
{\displaystyle t_1}
连续变化的情况。
②保持自变量的虚部
t
1
{\displaystyle t_1}
不变，改变实部
t
0
{\displaystyle t_0}
从负无穷取值到正无穷，如图，在每一条因变量曲线（实线）上点迹的速度都是指数增长的，实际上，
|
e
z
|
=
e
t
0
{\displaystyle |e^z| = e^{t_0}}
，而虚部则表现在了辐角上：解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://mathoid-facade/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \arg z_2 = t_1.}
如果自变量曲线是以上两种的合成（例如，一般的直线），那么因变量曲线也是圆以及径线（这两者之间也是独立的）的合成，例如
z
1
=
1
10
t
1
+
i
t
1
{\displaystyle z_1 = \dfrac{1}{10} t_1 + \text{i} t_1}
被复指数函数作用后就是如下形式的图线：
上下节[]
上一节：解析函数
下一节：复三角函数
参考资料钟玉泉, 《复变函数论（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-03, ISBN 978-7-0405-5587-5.
单复变函数论（学科代码：1104120，GB/T 13745—2009）
复数理论
复平面 ▪ 复数列 ▪ 棣莫弗公式 ▪ 复球面 ▪ 欧拉公式 ▪ 复几何
复变函数以及微分理论
复变函数的极限 ▪ 复变函数的连续性 ▪ 复变函数的导数 ▪ 解析函数 ▪ 复指数函数 ▪ 复三角函数 ▪ 复双曲函数 ▪ 复指数系函数的几何形态 ▪ 多值函数 ▪ 辐角函数 ▪ 复对数函数 ▪ 复根式函数 ▪ 复幂以及一般幂函数 ▪ 复反三角函数
复变函数的积分理论
复变函数的积分 ▪ Cauchy 积分定理 ▪ 复变函数的不定积分 ▪ Cauchy 积分公式 ▪ Liouville 定理 ▪ Cauchy 型积分
复变函数的级数理论
复数项级数 ▪ 复函数项级数、复幂级数 ▪ 解析函数的泰勒展式 ▪ 解析函数的零点性质 ▪ 解析函数的洛朗展式 ▪ 解析函数的孤立奇点 ▪ 解析函数的无穷远点性质 ▪ 留数理论 ▪ 留数的应用 ▪ 对数留数
复变函数的几何理论
解析变换 ▪ 分式线性变换 ▪ 共形映射 ▪ 解析开拓 ▪ 完全解析函数 ▪ 整函数 ▪ 亚纯函数 ▪ Mittag-Leffler 定理 ▪ Weierstrass 定理
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